Question

10．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD₁、D₁C₁的中点，则直线OM（　　）

• A． 与AC、MN均垂直相交
• B． 与AC垂直、与MN不垂直
• C． 与MN垂直，与AC不垂直
• D． 与AC、MN均不垂直

Answer 1

分析 此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零

解答 解：以DA、DC、DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图

因为正方体的棱长为2，
则D（0，0，0）、D₁（0，0，2）、M（0，0，1）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、O（1，1，0）、N（0，1，2）．
∴$\overrightarrow{OM}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{MN}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0）．
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{MN}$=0，
∴OM⊥AC，OM⊥MN．
故选A．

点评 本题考查用空间向量的方法来判断线线垂直，解答本题的关键是正确建立坐标系，使所求坐标化，利用向量的坐标运算解答．