Question

如图，设抛物线方程为x²=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）证明见解析（2）抛物线方程为或⑶仅存在一点M(0，-2p)适合题意

（Ⅰ）证明：由题意设
由得，则                  所以
因此直线MA的方程为　　　
直线MB的方程为…………………2分
所以① ②
由①、②得　 因此　，即
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. …………………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x₀=2时， 将其代入①、②并整理得：
　　所以　x₁、x₂是方程的两根，
因此   又   
所以                                    …………………6分
由弦长公式得
又，所以p=1或p=2，
因此所求抛物线方程为或…………………8分
（Ⅲ）解：设D(x₃,y₃)，由题意得C(x₁+ x₂, y₁+ y₂),
则CD的中点坐标为
设直线AB的方程为
由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，
代入得
若D（x₃,y₃）在抛物线上，则
因此　x₃=0或x₃=2x₀.
即D(0，0)或   …………………10分
（1）当x₀=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意. ………………11分
（2）当，对于D(0，0)，此时
又AB⊥CD，所以………………12分
即矛盾.
对于因为此时直线CD平行于y轴，
又
所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，
所以时，不存在符合题意的M点.
综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意. ………………………………14分