Question

15．如果函数y=ax²-x+2在区间（-∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是[0，$\frac{1}{8}$]．

Answer 1

分析 先讨论a的取值，当a=0时，为一次函数，满足条件．当a≠0时，为二次函数，利用函数的单调性和对称轴之间的关系，确定区间和对称轴的位置，从而建立不等式关系，进行求解即可．

解答 解：当a=0时，f（x）=ax²-x+2=-x+2，在定义域R上单调递减，满足在区间（-∞，4]上是减函数，所以a=0成立．
当a≠0时，二次函数f（x）=ax²-x+2的对称轴为x=$\frac{1}{2a}$，
∴要使f（x）=ax²-x+2在区间（-∞，4]上是减函数，
则必有a＞0且对称轴x=$\frac{1}{2a}$≥4，
解得：0＜a≤$\frac{1}{8}$，
综上0≤a≤$\frac{1}{8}$．
故答案为：[0，$\frac{1}{8}$]．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数单调性由对称轴决定，从而得到对称轴与已知区间的关系是解决本题的关键，本题要注意对a进行分类讨论．