Question

（2013•宝山区一模）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离L（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若点A（-1，1），B在y²=x上，则L（A，B）的最小值为

7

4

．

Answer 1

分析：分析可知，使L（A，B）取最小值的点应在原点或第一象限，设出抛物线上点的坐标，然后写出L（A，B）=|y02+1|+|y₀-1|．分类讨论点B的纵坐标后可求得L（A，B）的最小值．

解答：解：如图，

因为A在第二象限，根据抛物线的对称性，要使抛物线上的点B与A点的曼哈顿距离最小，则B在第一象限（或原点）．
设B（y02，y0），
则L（A，B）=|y02+1|+|y₀-1|
当0≤y₀≤1时，
L（A，B）=y02+1+1-y0
=y02-y0+2
=(y0-

1

2

)2+

7

4

，
所以，当y0=

1

2

时，L（A，B）有最小值

7

4

．
当y₀＞1时，
L（A，B）=y02+1+y0-1
=y02+y0
=(y0+

1

2

)2-

1

4

＞(1+

1

2

)2-

1

4

=2．
综上，L（A，B）的最小值为

7

4

．
故答案为

7

4

．

点评：本题考查了新定义下的两点间的距离公式，考查了数形结合的解题思想和分类讨论思想，解答的关键是设出B点的坐标，此题是中档题．