Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-4，4]
（1）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-4，4]上是单调函数
（2）若函数f（x）（x∈R）的图象与直线y=-2无交点，求实数a的取值范围
（3）若函数f（x）在[-4，4]上的最小值为-16，求a的值．

Answer 1

解：二次函数f（x）=x²+2ax+2的对称轴为x=-a，
（1）由于此函数在区间[-4，4]上是单调函数，
可得f（x）的对称轴落在区间[-4，4]外，
即-a≤-4或-a≥4，解得a≤-4或a≥4，
故a的取值范围是a≤-4或a≥4；
（2）若函数f（x）（x∈R）的图象与直线y=-2无交点，只需f（x）_min＞-2，
又由于二次函数f（x）=x²+2ax+2是开口向上的二次函数，
则＞-2，解得-2＜a＜2，
故实数a的取值范围是-2＜a＜2；
（3）①当a≤-4时，
二次函数f（x）=x²+2ax+2在区间[-4，4]上是单调减函数，
则f（x）_min=f（4）=18+8a，解f（x）_min=-16得到
②当-4＜a＜4时，二次函数f（x）=x²+2ax+2在区间[-4，4]上不是单调函数，
则，解f（x）_min=-16得到 （舍）
③当a≥4时，
二次函数f（x）=x²+2ax+2在区间[-4，4]上是单调增函数，
则f（x）_min=f（-4）=18-8a，解f（x）_min=-16得到
综上可得 ．
分析：（1）由于二次函数在区间[-4，4]上是单调函数，可得f（x）的对称轴落在区间[-4，4]外，即-a≤-4或-a≥4，解出m即可；
（2）由题意知，若函数f（x）（x∈R）的图象与直线y=-2无交点，只需f（x）_min＞-2，问题转而求函数f（x）的最小值，由于f（x）是开口向上的二次函数，则；
（3）由（1）可知，需分三种情况①当a≤-4时，②当-4＜a＜4时，③当a≥4时，分别求出最小值，让f（x）_min=-16，解出a即可．
点评：本题主要考察二次函数的单调性与最值，注意含参的二次函数求最值时，要对参数分类讨论．