【题目】已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0},对定义域内的任意,都有f(·)=f()+f(),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.
(1)证明:(x)是偶函数;
(2)证明:(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式(2-1)<2.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)令,求得,再由,求得,进而得出,即可得到证明;
(2)根据函数的单调性的定义,即可证得函数的为单调递增函数;
(3)由(1)(2)可把不等式 转化为,进而得,即可求解.
(1)证明 令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),
∴f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(-1)=0,
∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)证明 设x2>x1>0,
则f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)
=f(x1)+f()-f(x1)=f(),
∵x2>x1>0,∴>1.
∴f()>0,即f(x2)-f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)解 ∵f(2)=1,∴f(4)=f(2)+f(2)=2.
又∵f(x)是偶函数,
∴不等式f(2x2-1)<2可化为f(|2x2-1|)<f(4).
又∵函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴|2x2-1|<4.
解得- <x<,即不等式的解集为(-,).
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【题目】已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
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【题目】已知a>0,a≠1,设p:函数y=loga(x+3)在(0,+∞)上单调递减,q:函数y=x2+(2a-3)x+1的图像与x轴交于不同的两点.如果p∨q真,p∧q假,求实数a的取值范围.
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【题目】函数f(x)对任意的m,n∈R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1.
(1)求证:f(x)在R上是增函数;
(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2
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【题目】(.(12分)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没奖。某顾客从此10张奖券中任抽2张,求:
(1)该顾客中奖的概率;
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列。
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【题目】已知圆O:x2+y2=4,点F( ,0),以线段MF为直径的圆内切于圆O,记点M的轨迹为C
(1)求曲线C的方程;
(2)若过F的直线l与曲线C交于A,B两点,问:在x轴上是否存在点N,使得 为定值?若存在,求出点N坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】下面推理过程中使用了类比推理方法,其中推理正确的是( )
A. 平面内的三条直线,若,则.类比推出:空间中的三条直线,若,则
B. 平面内的三条直线,若,则.类比推出:空间中的三条向量,若,则
C. 在平面内,若两个正三角形的边长的比为,则它们的面积比为.类比推出:在空间中,若两个正四面体的棱长的比为,则它们的体积比为
D. 若,则复数.类比推理:“若,则”
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