Question

19．已知命题$p：?{x_0}∈R，x_0^2+2{x_0}-m-1＜0$，命题$q：对于?x∈[{1，4}]，x+\frac{4}{x}＞m$．
（1）写出命题p的否定形式；并求当命题p为真时，实数m的范围；
（2）若p和q一真一假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据全称命题的否定是特称命题，利用二次函数的图象和性质即可求出实数m的范围；
（2）先求出关于命题P，q的m的范围，通过讨论p真q假或p假q真，得到不等式组，解出即可

解答 解：（1）命题p的否定形式：?x₀∈R，x₀²+2x₀-m-1≥0；
当命题$p：?{x_0}∈R，x_0^2+2{x_0}-m-1＜0$为真时，△=4-4（-m-1）＞0⇒m＞-2，
∴实数m的范围为：（-2，+∞）
（2）命题$q：对于?x∈[{1，4}]，x+\frac{4}{x}＞m$为真时，m＜（x+$\frac{4}{x}$）_min，x∈[1，4]时，（x+$\frac{4}{x}$）_min=4，⇒m＜4，
若p真q假：m＞-2且m≥4⇒m≥4；  若p假q真：m≤-2且m＜4⇒m≤-2；
综上：若p和q一真一假，求实数m的取值范围：m≥4；或m≤-2．

点评 本题考查了命题的否定，考查了复合命题的真假问题，考查了全称命题、特称命题的转化，属于中档题．