Question

7．对于定义域分别为D_f、D_g的函数f（x）、g（x），规定：$h（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x）•g（x）\;\;\;当x∈{D_f}且x∈{D_g}时\\ f（x）\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;当x∈{D_f}且x∉{D_g}时\\ g（x）\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;当x∉{D_f}且x∈{D_g}时\end{array}\right.$
（1）设$f（x）=\frac{1}{x}\;，\;\;g（x）=4{x^2}+1$，写出h（x）的解析式．
（2）求（1）中函数h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由于函数f（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=4x²+1，对x进行分类讨论：当x≠0时，h（x）=f（x）g（x）；当x=0时，h（x）=4x²+1．从而得出h（x）的解析式；
（2）对于x的取值进行分类：若x＞0；若x＜0；x=0分别求得它们的最值，最后综合即得函数h（x）的值域．

解答 （1）由于函数f（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=4x²+1，根据题意得：
当x≠0时，h（x）=f（x）g（x）=$\frac{4{x}^{2}+1}{x}$，
当x=0时，h（x）=4x²+1．从而得出h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4{x}^{2}+1}{x}\\;\\;\\;（x≠0）}\\{4{x}^{2}+1\\;\\;\\;\\;（x=0）}\end{array}\right.$；
（2）当x≠0时，h（x）=4x+$\frac{1}{x}$
若x＞0⇒h（x）≥4其中等号当x=$\frac{1}{2}$时成立，…（8分）
若x＜0⇒h（x）≤-4其中等号当x=-$\frac{1}{2}$时成立，…（10分）
∴函数h（x）的值域为（-∞，-4]∪[4，+∞）∪{0}

点评 本小题主要考查函数的值域、函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．