Question

如图，设点A和B为抛物线y²＝4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

Answer 1

答案：
解析：

解：点A，B在抛物线y2＝4px上， 设A（，yA），B（，yB），OA、OB的斜率分别为kOA、kOB． ∴． 由OA⊥OB，得kOA·kOB＝＝－1           ① 依点A在AB上，得直线AB方程 （yA＋yB）（y－yA）＝4p（x－）             ② 由OM⊥AB，得直线OM方程y=  ③ 设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以－，并利用③式 整理得，yA2+yyA－（x2＋y2）＝0              ④ 由③、④两式得－+yByA－（x2＋y2）＝0， 由①式知，yAyB＝－16p2， ∴x2＋y2－4px＝0． 因为A、B是原点以外的两点，所以x≠0． 所以点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．