Question

【题目】若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】法一：(换元法)

设t＝2x(t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)

原方程有实根，即方程(*)有正根．

令f(t)＝t2＋at＋a＋1.

(1)若方程(*)有两个正实根t1，t2，

则解得－1＜a≤2－2；

(2)若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1<0，解得a<－1；

(3)当a＝－1时，t＝1，x＝0符合题意．

综上可知实数a的取值范围是(－∞，2－2 ]．

法二：(分离变量法)

由方程，解得a＝－，设t＝2x(t>0)，

则a＝－＝－

＝2－，其中t＋1>1，

由基本(均值)不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.

综上可知实数a的取值范围是(－∞，2－2 ]．