Question

已知函数f（x）=x³+ax²-2x-3．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，求实数a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是单调递增函数？若存在，试求出a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：解：（1）因为函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以函数在x=1时取得极小值，所以当x=1时，导数等于0，即可求出a的值．
（2）先判断函数f'（x）=3x²+2ax-2有两个零点，且为异号，要使f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是单调递增函数，则f'（x）≥0在(

1

3

，

1

2

)恒成立，数形结合可知需

f′( 1 3 )＞0 f′( 1 2 )＞0

，解不等式即可得出a的范围

解答：解：（1）由已知有f′（x）=3x²+2ax-2，f'（1）=0，∴a=-

1

2

（2）令f'（x）=3x²+2ax-2=0，∵△=4a²+24＞0，∴方程有两个不等实根，分别记为x₁，x₂，又x1x2=-

2

3

＜0
所以在(

1

3

，

1

2

)内方程f'（x）=3x²+2ax-2=0不可能有两个解
故要使得f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是单调递增函数的充要条件是

f′( 1 3 )＞0 f′( 1 2 )＞0

，解得a＞

5

2

所以存在实数a＞

5

2

，使得f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是单调递增函数

点评：本题考查了函数单调性与导数的关系，解题时要牢记函数在区间上单调的充要条件，避免丟解现象发生