Question

已知函数f(x)=2x+

1

2x

．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：（I） 要判断函数的奇偶性，只要检验f（-x）与f（x）的关系即可判断
（II）要证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，只要证明0＜x₁＜x₂，则时，f（x₁）-f（x₂）＜0即可判断

解答：证明：（I）∵?x∈R
∴-x∈R，
∵f(-x)=2-x+

1

2-x

=

1

2x

+2x=f(x)．
故f（x）为偶函数．
（II）设0＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=2x1+

1

2x1

-2x2-

1

2x2

=（2x1-2x2）（1-

1

2x1+x2

）
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＞0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的定义的简单应用，属于基础试题