【题目】已知函数
(Ⅰ)若有唯一解,求实数
的值;
(Ⅱ)证明:当时,
(附: )
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)使有唯一解,只需满足
,且
的解唯一,求导研究函数,注意分类讨论利用极值求函数最大值;(Ⅱ)只需证即证
,构造函数
,利用单调性,极值求其最小值,证明其大于零即可.
试题解析:(Ⅰ)函数的定义域为
要使有唯一解,只需满足
,且
的解唯一,
,
①当时,
,故
在
上单调递增,且
,
所以的解集为
,不符合题意;
②当,且
时,
单调递增;当
时,
单调递减,所以
有唯一的一个最大值为
,
令,则
,
当时,
,故
单调递减;当
时,故
单调递增,
所以,故令
,解得
,
此时有唯一的一个最大值为
,且
,故
的解集是
,符合题意;
综上,可得
(Ⅱ)要证当时,
即证当时,
,
即证
由(Ⅰ)得,当时,
,即
,又
,从而
,
故只需证,当
时成立;
令,则
,
令,则
,令
,得
因为单调递增,所以当
时,
单调递减,即
单调递减,当
时,
单调递增,即
单调递增,
且,
由零点存在定理,可知,使得
,
故当或
时,
单调递增;当
时,
单调递减,所以
的最小值是
或
由,得
,
,
因为,所以
,
故当时,所以
,原不等式成立.
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【题目】下列不等关系正确的是( )
A.( )
<34<(
)﹣2
B.( )﹣2<(
)
<34
C.(2.5)0<( )2.5<22.5
D.( )2.5<(2.5)0<22.5
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【题目】在平面直角坐标系中,
是抛物线
的焦点,
是抛物线
上的任意一点,当
位于第一象限内时,
外接圆的圆心到抛物线
准线的距离为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)过的直线
交抛物线
于
两点,且
,点
为
轴上一点,且
,求点
的横坐标
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=ax﹣lnx﹣1,若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线2x+y﹣1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)函数g(x)=f(x)﹣m(x﹣1)(m∈R)恰有两个零点x1 , x2(x1<x2),求函数g(x)的单调区间及实数m的取值范围.
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【题目】某商场举行抽奖活动,规则如下:甲箱子里装有3个白球和2个黑球,乙箱子里装有1个白球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同;每次抽奖都从这两个箱子里各随机地摸出2个球,若摸出的白球个数不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)在一次游戏中,求获奖的概率;
(2)在三次游戏中,记获奖次数为随机变量X,求X的分布列及期望.
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【题目】已知函数f(x)= 的图象过点A(0,
),B(3,3)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(2,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明;
(3)若m,n∈(2,+∞)且函数f(x)在[m,n]上的值域为[1,3],求m+n的值.
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【题目】设定义域为R的函数 ,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有三个不同的解x1 , x2 , x3 , 则
的值是( )
A.1
B.3
C.5
D.10
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【题目】在正方体ABCDA1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为四边形ABCD的中心,P为棱A1B1上任一点,则异面直线OP与MA所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
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