Question

已知f（x）=|cosx|（x≥0），y=g（x）是经过原点且与f（x）图象恰有两个交点的直线，这两个交点的横坐标分别为α，β（0＜α＜β），那么下列结论中正确的有

 

．
①f（x）-g（x）≤0的解集为[α，+∞）．
②y=f（x）-g（x）在（0，α）上单调递减．
③αcosβ+βcosα=0．
④当x=π时，y=f（x）-g（x）取得最小值．

Answer 1

考点：余弦函数的图象

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：由题意，y=g（x）与y=-cosx相切，则y′=sinx，g（x）=xsinβ，y=f（x）-g（x）=|cosx|-xsinβ．再对选项进行分析，即可得出结论．

解答： 解：由题意，y=g（x）与y=-cosx相切，则y′=sinx，g（x）=xsinβ，y=f（x）-g（x）=|cosx|-xsinβ．
①∵这两个交点的横坐标分别为α，β（0＜α＜β），∴f（x）-g（x）≤0的解集为[α，+∞），正确．
②y′=f′（x）-g′（x）=sinx-sinβ，∵0＜α＜β，∴y′＜0，∴y=f（x）-g（x）在（0，α）上单调递减，正确．
③∵两个交点的横坐标分别为α，β，∴cosα=αsinβ，-cosβ=βsinβ，∴αcosβ+βcosα=0，正确．
④由②知，当x=α时，y=f（x）-g（x）取得最小值，故不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查余弦函数的图象，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．