Question

如图所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁，AC₁⊥A₁B，M、N分别是A₁B₁、AB的中点.

（1）求证：C₁M⊥平面A₁ABB₁；

（2）求证：A₁B⊥AM；

（3）求证：平面AMC₁∥平面NB₁C；

（4）求A₁B与B₁C所成的角.

Answer 1

解析：（1）证法一：由直棱柱性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，?

又∵C₁M平面A₁B₁C₁,∴AA₁⊥MC₁.?

又∵C₁A₁=C₁B₁，M为A₁B₁中点，∴C₁M⊥A₁B₁.?

又A₁B₁∩A₁A=A₁，∴C₁M⊥平面AA₁B₁B.?

证法二：由直棱柱性质得：面AA₁B₁B⊥平面A₁B₁C₁，交线A₁B₁，又∵C₁A₁=C₁B₁，M为A₁B₁的中点，∴C₁M⊥A₁B₁于M.由面面垂直的性质定理可得C₁M⊥面AA₁B₁B.?

（2）证明：由（1）知C₁M⊥平面A₁ABB₁，∴C₁A在侧面AA₁B₁B上的射影为MA.?

∵AC₁⊥A₁B，∴A₁B⊥AM（由三垂线定理的逆定理得出）.?

（3）证法一：由棱柱性质知AA₁B₁B是矩形，M、N是A₁B₁、AB中点，∴ANB₁M.?

∴AMB₁N是平行四边形.∴AM∥B₁N.?

连结MN,在矩形AA₁B₁B中有MB₁BN,?

?   ∴BB₁MN是平行四边形.∴BB₁MN.?

又由BB₁CC₁，知MNCC₁.?

∴MNCC₁是平行四边形.∴C₁M CN.?

又C₁M∩AM=M，CN∩NB₁=N,?

∴平面AMC₁∥面NB₁C.?

证法二：由（1）知C₁M⊥平面AA₁B₁B，

∴C₁M⊥A₁B.?

又∵A₁B⊥AC₁，而AC₁∩C₁M=C₁，∴A₁B⊥平面AMC₁.?

同理,可以证明A₁B⊥平面B₁NC.∴平面AMC₁∥平面B₁NC.?

（4）解：由（2）知A₁B⊥AM，又由已知A₁B⊥AC₁，?

?   ∴A₁B⊥平面AMC₁.?

又∵平面AMC₁∥平面NB₁C，?

∴A₁B⊥平面NB₁C.∴A₁B⊥B₁C.?

∴A₁B与B₁C所成角为90°.?

另法：由棱柱性质有面ABC⊥平面AA₁B₁B,交线AB，又CA=CB=C₁A₁，N为AB中点，∴CN⊥AB.?

∴CN⊥面AA₁B₁B.∴CB₁在侧面AA₁B₁B上的射影是NB₁.又由（2）知A₁B⊥AM，由（3）知B₁N∥AM，?

∴A₁B⊥B₁N.由三垂线定理知B₁C⊥A₁B.?

∴A₁B与B₁C所成角为90°.