Question

一个盒子中装有大小相同的小球n个，在小球上分别标有1，2，3，…，n的号码，已知从盒子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为n的概率为

1

4

，
（Ⅰ）问：盒子中装有几个小球？
（Ⅱ）现从盒子中随机的取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量ξ（如取2468时，ξ=0；取1246或1245时，ξ=2；取1235时，ξ=3）求随机变量ξ的分布列及均值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意知

C 1 n-1

C 2 n

=

1

4

，由此能求出盒子中装有小球的个数．
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，2，3，4，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知

C 1 n-1

C 2 n

=

1

4

，
解得n=8，
∴盒子中装有8个小球．…（6分）
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，2，3，4，
P(ξ=2)=

40

C 4 8

=

4

7

，
P(ξ=0)=

5

C 4 8

=

1

14

，
P（ξ=3）=

20

C 4 8

=

2

7

，
P(ξ=4)=

5

C 4 8

=

1

14

，

ξ	0	2	3	4
P	1 14	4 7	2 7	1 14

Eξ=0×

1

14

+2×

4

7

+3×

2

7

+4×

1

14

=

16

7

．…（14分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合的合理运用．