Question

已知函数f（x）=x³-bx²+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称．
（1）求b的值；
（2）若函数f（x）无极值求c的取值范围；
（3）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3x²-2bx+2c…（1分）
∵函数f'（x）的图象关于直线x=2对称，
∴-=2，即b=6．…（4分）
（2）由（1）知，f（x）=x³-6x²+2cx，f'（x）=3x²-12x+2c=3（x-2）²+2c-12…（6分）
当c≥6时，f'（x）≥0，此时f（x）无极值 …（8分）
（3）当c＜6时，f'（x）=0有两个异实根x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，则x₁＜2＜x₂；
当x＜x₁时，f'（x）＞0，f（x）在区间（-∞，x₁）内为增函数；
当x₁＜x＜x₂时，f'（x）＜0，f（x）在区间（x₁，x₂）内为减函数；
当x＞x₂时，f'（x）＞0，f（x）在区间（x₂，+∞）内为增函数．
所以f（x）在x=x₁处取极大值，在x=x₂处取极小值 …（10分）
因此，当且仅当c＜6时，函数f（x）在x=x₂处存在唯一极小值，所以t=x₂＞2
于是g（t）的定义域为（2，+∞），由f'（t）=3t²-12t+2c=0得2c=-3t²+12t．
于是g（t）=f（t）=t³-6t²+（-3t²+12t）t=-2t³+6t²，t∈（2，+∞）…（12分）
当t＞2时，g'（t）=-6t²+12t=-6t（t-2）＜0，所以函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，
故g（t）的值域为（-∞，8）．…（14分）
分析：（1）先求导函数，根据导函数的图象关于直线x=2对称，可知-=2，从而可求b的值；
（2）函数f（x）无极值，即导函数为0的方程至多有一解，从而可求c的取值范围；
（3）由（2）知，c＜6，f'（x）=0有两个异实根x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，则x₁＜2＜x₂，易得f（x）在x=x₁处取极大值，在x=x₂处取极小值，且x₂＞2，可知函数g（t）的定义域为（2，+∞），根据f'（t）=3t²-12t+2c=0得2c=-3t²+12t．从而可得g（t）=f（t）=t³-6t²+（-3t²+12t）t=-2t³+6t²，再利用函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，可求函数g（t）的值域．
点评：本题以导函数为载体，考查导函数的性质，考查利用导数求函数的极值，同时考查了函数的定义域与值域，综合性强．