Question

【题目】如果有一天我们分居异面直线的两头，那我一定穿越时空的阻隔，画条公垂线向你冲来，一刻也不愿逗留.如图1所示，在梯形中，//，且，，分别延长两腰交于点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2所示．

（1）求证：；

（2）若，，四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

⑴先证平面，继而，又，证得面，即可证得

⑵分别计算出梯形面积和四个三角形面积即可得到表面积

（1）证明：因为∠C＝90°，即AC⊥BC，且DE∥BC，

所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，

又因为DC∩DA1＝D，

所以DE⊥平面A1DC.

因为A1F平面A1DC，

所以DE⊥A1F.

又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，

所以A1F⊥平面BCDE，

又因为BE 平面BCDE，

所以A1F⊥BE．

（2）解：由已知DE∥BC，且DE＝BC，得D，E分别为AC，AB的中点，

在Rt△ABC中，，则A1E＝EB＝5，A1D＝DC＝4，

则梯形BCDE的面积S1＝×(6＋3)×4＝18，

四棱锥A1—BCDE的体积为V＝×18×A1F＝12，即A1F＝2，

在Rt△A1DF中，，即F是CD的中点，

所以A1C＝A1D＝4，

因为DE∥BC，DE⊥平面A1DC，

所以BC⊥平面A1DC，所以BC⊥A1C，所以，

在等腰△A1BE中，底边A1B上的高为，

所以四棱锥A1—BCDE的表面积为

S＝S1＋＋＋＋

＝18＋×3×4＋×4×2＋×6×4＋×2×2＝36＋4＋2．