Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），a＞1，对于定义域内的x₁，x₂有0＜x₁＜x₂＜1，给出下列结论：
①（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0；
②x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）；
③f（x₂）-f（x₁）＞x₁-x₂；
④

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

）．
其中正确结论的序号是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：画出函数的图象，可根据函数的单调性判断①的对错；
根据

f(x1)

x1

与

f(x2)

x2

（图象上任意两点与原点连线的斜率）的大小判断②的正误；
再根据函数图象是凸增的，我们可判断③的真假．

解答： 解：由已知函数f（x）=log_a（x+1），a＞1，函数是增函数，函数的图象如图，
对于定义域内的x₁，x₂有0＜x₁＜x₂＜1，
可得x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0；显然①不正确；
由x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）
得

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，
即表示两点（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂））与原点连线的斜率的大小，
可以看出结论②正确；
结合函数图象，
由f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁，
可得

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞1，
即两点（x₁，f（x₁））与（x₂，f（x₂））连线的斜率大于1，
显然③不正确；
容易判断④的结论是正确的．
故选：C．

点评：本题考查的知识点是函数的图象和直线的斜率，解答的关键是结合函数图象分析结论中式子的几何意义，然后进行判断．