Question

5．关于函数f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$的性质，有如下四个命题：
①函数f（x） 的定义域为R；
②函数f（x） 的值域为（0，+∞）；
③方程f（x）=x有且只有一个实根；
④函数f（x） 的图象是中心对称图形．
其中正确命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 直接利用函数的定义域、值域判断①②的正误；利用函数的零点与函数的图象的关系判断③的正误；利用函数的对称性判断④的正误；

解答 解：对于①，函数f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$的定义域为R；所以①正确；
对于②，函数f（x） 的值域为（0，+∞）；显然不正确，因为函数减函数函数的值域是：（0，$\frac{1}{2}$），所以②不正确；
对于③方程f（x）=x有且只有一个实根；如图，作出两个是的图象，可知

可知方程只有一个根，所以③正确；
对于④，函数f（x） 的图象是中心对称图形．因为f（x+1）+f（-x）=$\frac{1}{{4}^{x+1}+2}+\frac{1}{{4}^{-x}+2}$，
=$\frac{1}{{4•4}^{x}+2}+\frac{{4}^{x}}{2•{4}^{x}+1}$=$\frac{1}{2}$，∴f（x）关于（$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$）对称，所以④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查函数的简单性质的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及基本知识的应用，考查逻辑推理能力．