Question

20．已知点A为抛物线C：x²=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则△ABF（　　）

• A． 一定是直角
• B． 一定是锐角
• C． 一定是钝角
• D． 上述三种情况都可能

Answer 1

分析 求导数，确定过A的切线方程，可得B的坐标，求出$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{1}{2}$x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{1}{2}$x₀，1），可得$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BF}$=0，即可得出结论．

解答 解：由x²=4y可得y=$\frac{1}{4}$x²，∴y′=$\frac{1}{2}$x，
设A（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），则
过A的切线方程为y-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），
令y=0，可得x=$\frac{1}{2}$x₀，∴B（$\frac{1}{2}$x₀，0），
∵F（0，1），
∴$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{1}{2}$x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{1}{2}$x₀，1），
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BF}$=0，
∴∠ABF=90°，
故选：A．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．