Question

3．若函数f（x）=ax²+（a+3）x-1，当0≤x≤m时有-$\frac{25}{4}$≤y≤-1，则实数m的取值范围是$（0，\frac{3+\sqrt{37}}{2}）$．

Answer 1

分析 当a=0时，f（x）=3x-1，利用一次函数的单调性即可判断出．当a＞0时，f（x）=a$（x-\frac{-（a+3）}{2a}）^{2}$-1-$\frac{（a+3）^{2}}{4a}$．$-\frac{a+3}{2a}$＜0，利用二次函数的单调性即可判断出．
当a＜0时，f（x）=a$（x-\frac{-（a+3）}{2a}）^{2}$-1-$\frac{（a+3）^{2}}{4a}$．对于对称轴x=$-\frac{a+3}{2a}$，对于a分类讨论：-3≤a＜0时，a＜-3，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=3x-1，∴f（x）在0≤x≤m时单调递增，而f（0）=-1，因此不符合题意，舍去．
（2）当a＞0时，f（x）=a$（x-\frac{-（a+3）}{2a}）^{2}$-1-$\frac{（a+3）^{2}}{4a}$．当x$＞-\frac{a+3}{2a}$时，函数f（x）单调递增，而f（0）=-1，因此不符合题意，舍去．
（3）当a＜0时，f（x）=a$（x-\frac{-（a+3）}{2a}）^{2}$-1-$\frac{（a+3）^{2}}{4a}$．
①$\frac{-（a+3）}{2a}$≥0，即-3≤a＜0时，当x＞$\frac{-（a+3）}{2a}$时，函数f（x）单调递增；当x＜$\frac{-（a+3）}{2a}$时，函数f（x）单调递减．
当$\frac{-（a+3）}{2a}$≥m时，函数f（x）在0≤x≤m时单调递增，而f（0）=-1，因此不符合题意，舍去．
当0＜$\frac{-（a+3）}{2a}$＜m时，函数f（x）在0≤x≤$\frac{-（a+3）}{2a}$时单调递增，在$\frac{-（a+3）}{2a}$≤x≤m时单调递减．f（0）=-1，不符合题意，舍去．
②$\frac{-（a+3）}{2a}$＜0，即a＜-3时，函数f（x）在[0，m]上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-1}\\{f（m）=-\frac{25}{4}}\end{array}\right.$，化为a=$\frac{-21-12m}{{m}^{2}+m}$＜-3，且m＞0，
解得0＜$m＜\frac{3+\sqrt{37}}{2}$．
∴实数m的取值范围是$（0，\frac{3+\sqrt{37}}{2}）$．
故答案为：$（0，\frac{3+\sqrt{37}}{2}）$．

点评 本题考查了二次函数的单调性、函数的性质，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．