Question

已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y²=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问

OM

•

0N

是否为定值，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的长半轴长，再由a-c=1求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出P点坐标，代入椭圆方程，求出直线PA和PB的方程，取x=0求得M，N的坐标，得到向量

OM

，

ON

的坐标，代入数量积公式可得

OM

•

0N

为定值．

解答： 解：（1）由抛物线y²=12x，得焦点为（3，0），
已知可知椭圆的焦点在x轴，且a=3，
又a-c=1，则c=2，
∴b²=a²-c²=5，
故椭圆的方程为：

x2

9

+

y2

5

=1；
（2）设P（x₀，y₀），则5x02+9y02=45，且A（-3，0），B（3，0），
又直线PA：y=

y0

x0+3

(x+3)，直线PB：y=

y0

x0-3

(x-3)，
令x=0，得：

OM

=(0，

3y0

x0+3

)，

ON

=(0，

-3y0

x0-3

)，
故

OM

•

ON

=

-9y02

x02-9

=

5x02-45

x02-9

=5为定值．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．