Question

已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（-

3

，0），右顶点A（2，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率为

1

2

的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可知：c=

3

，a=2，又b²=a²-c²．即可得出椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为y=

1

2

x+b，与椭圆方程联立可得x²+2bx+2b²-2=0，△≥0，即b²≤2．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系可得：弦长|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

10-b2

，由于0≤b²≤2，即可得出．

解答： 解：（1）由题意可知：c=

3

，a=2，∴b²=a²-c²=1．
∵焦点在x轴上，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1．
（2）设直线l的方程为y=

1

2

x+b，由

y= 1 2 x+b x2 4 +y2=1

，
可得x²+2bx+2b²-2=0，
∵l与椭圆C交于A、B两点，
∴△=4b²-4（2b²-2）≥0，即b²≤2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-2b，x₁x₂=2b²-2．
∴弦长|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

10-b2

，
∵0≤b²≤2，
∴|AB|=

10-b2

≤

10

，
∴当b=0，即l的直线方程为y=

1

2

x时，弦长|AB|的最大值为

10

．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．