Question

已知平面向量

a

=（

3

，2cosx），

b

=（sin2x，cosx），f（x）=

a

•

b

，x∈[0，

π

2

]．
（1）求f（x）的最小值；
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，化简f（x） 的 解析式为2sin（2x+

π

6

）+1，由x∈[0，

π

2

]，求出f（x）的最小值；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．

解答： 解：（1）∵平面向量

a

=（

3

，2cosx），

b

=（sin2x，cosx），f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sin2x+2cos²x=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴f（x）_min=2×（-

1

2

）+1=0．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
故求f（x）的单调增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：本题主要考察了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．