Question

已知函数f（x）=-x³+x²，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．
（1）求f（x）的极值；
（2）若对任意x∈[1，+∞]，使得f（x）+g（x）≥-x³+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对n∈N^*，不等式

1

ln(n+1)

+

1

ln(n+2)

+…+

1

ln(n+2013)

＞

2013

n(n+2013)

成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=-3x²+2x=-3x（x-

2

3

），由导数确定函数的单调性，从而求极值；
（2）令F（x）=f（x）+g（x）+x³-（a+2）x=x²+alnx-（a+2）x，求导，从而由F（1）=1-（a+2）≥0，可得a≤-1．
（3）由题意（n+i）²-ln（n+i）-（n+i）＞0，从而可得

1

ln(n+i)

＞

1

(n+i)(n+i-1)

=

1

n+i-1

-

1

n+i

，利用放缩法求证．

解答： 解：（1）f′（x）=-3x²+2x=-3x（x-

2

3

），
f（x）=-x³+x²在（-∞，0），（

2

3

，+∞）上是减函数，
在（0，

2

3

）上是增函数，
故f_极大（x）=f（

2

3

）=

4

27

，f_极小（x）=f（0）=0；
（2）令F（x）=f（x）+g（x）+x³-（a+2）x
=x²+alnx-（a+2）x
F′（x）=

(x-1)(2x-a)

x

，
又∵F（1）=1-（a+2）≥0，
∴a≤-1；
故在a≤-1时，
F′（x）＞0，
故a≤-1．
（3）证明：∵当a=-1时，x²-lnx-x＞0对任意x∈（1，+∞）上恒成立，
∴（n+i）²-ln（n+i）-（n+i）＞0，
∴0＜ln（n+i）＜（n+i）²-（n+i），
∴

1

ln(n+i)

＞

1

(n+i)(n+i-1)

=

1

n+i-1

-

1

n+i

；

1

ln(n+1)

+

1

ln(n+2)

+…+

1

ln(n+2013)

＞

1

n

-

1

n+1

+

1

n+1

-

1

n+2

+…+

1

n+2012

-

1

n+2013

=

1

n

-

1

n+2013

=

2013

n(n+2013)

．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了放缩法证明不等式，属于中档题．