Question

13．已知O为△ABC的垂心，且$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则A角的值为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 取AC，BC的中点分别为E，F；化简可得2$\overrightarrow{OE}$+4$\overrightarrow{OF}$=0，从而记|$\overrightarrow{OF}$|=x，则|$\overrightarrow{OE}$|=2x，|AB|=6x，|AC|=|EC|=$\frac{2x}{cosA}$，|EH|=2xcosA，从而可得$\frac{2xcosA+\frac{2x}{cosA}}{6x}$=cosA，从而解得．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
取AC，BC的中点分别为E，F；
∴2$\overrightarrow{OE}$+4$\overrightarrow{OF}$=0，
记|$\overrightarrow{OF}$|=x，则|$\overrightarrow{OE}$|=2x，
|AB|=6x，|AE|=|EC|=$\frac{2x}{cosA}$，|EH|=2xcosA，
故$\frac{2xcosA+\frac{2x}{cosA}}{6x}$=cosA，
即$\frac{1}{cosA}$=2cosA，
解得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或cosA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
故A=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的化简运算及解三角形的应用，同时考查了数形结合的思想方法应用．