Question

5．已知f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ （m，n∈N^*）的展开式中x的系数为11，当x²的系数取得最小值时，f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．

Answer 1

分析 由已知得${∁}_{m}^{1}+2{∁}_{n}^{1}$=11，可得：m+2n=11，x²的系数为${∁}_{m}^{2}$+2²${∁}_{n}^{2}$=$（m-\frac{21}{4}）^{2}$+$\frac{351}{16}$，由于m∈N^*，可得m=5时，x²的系数取得最小值22，此时n=3．f（x）=（1+x）⁵+（1+2x）³．设这时f（x）的展开式为f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，分别令x=1，x=-1，即可得出．

解答 解：由已知得${∁}_{m}^{1}+2{∁}_{n}^{1}$=11，∴m+2n=11，
x²的系数为${∁}_{m}^{2}$+2²${∁}_{n}^{2}$=$\frac{m（m-1）}{2}$+4×$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{{m}^{2}-m}{2}$+（11-m）$（\frac{11-m}{2}-1）$=$（m-\frac{21}{4}）^{2}$+$\frac{351}{16}$，
∵m∈N^*，∴m=5时，x²的系数取得最小值22，此时n=3．
∴f（x）=（1+x）⁵+（1+2x）³．
设这时f（x）的展开式为f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，
令x=1，a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=2⁵+3³，
令x=-1，a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=-1，
两式相减得2（a₁+a₃+a₅）=60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．
故答案为：30．

点评 本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．