Question

17．在2015-2016赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数$\frac{n}{N}$，N表示投篮次数，n表示命中次数），假设各场比赛相互独立．

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
甲	$\frac{5}{13}$	$\frac{4}{12}$	$\frac{14}{30}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{14}{19}$	$\frac{10}{16}$	$\frac{12}{23}$	$\frac{4}{8}$	$\frac{6}{13}$	$\frac{10}{19}$
乙	$\frac{13}{26}$	$\frac{9}{18}$	$\frac{9}{14}$	$\frac{8}{16}$	$\frac{6}{15}$	$\frac{10}{14}$	$\frac{7}{21}$	$\frac{9}{16}$	$\frac{10}{22}$	$\frac{12}{20}$

根据统计表的信息：
（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；
（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；
（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据投篮统计数据，利用列举法能求出甲球员的投篮命中率超过0.5的概率和乙球员投篮命中率超过0.5的概率．
（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B₁，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B₂．由P（A）=P（B₁）+P（B₂），能求出甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率．
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，且B～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出X的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，
甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4，5，6，7，10，
所以在随机选择的一场比赛中，
甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是$\frac{1}{2}$．
在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10，
所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是$\frac{2}{5}$．3分
（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A，
甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B₁，
乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B₂．
则P（A）=P（B₁）+P（B₂）=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$=$\frac{1}{2}$．7分
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{5}）^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}=\frac{54}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{8}{125}$，
X的分布列如下表：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

∵X～B（3，$\frac{2}{5}$），∴EX=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．