Question

8．已知数列{a_n}的各项均为正整数，对于n∈N^*，有a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{n}+9，{a}_{n}不被2整除}\\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{k}}，{a}_{n}被{2}^{k}整除，且不被{2}^{k+1}整除}\end{array}\right.$；其中k为正整数，若存在m∈N^*，当n＞m时且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，则p的值为9或1．

Answer 1

分析 通过题意可得关系式a_n+1=7a_n+9、a_n+2=$\frac{7p+9}{{2}^{k}}$=p，进而转化为解方程问题，计算即得结论．

解答 解：∵若存在m∈N^*，当n＞m时且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，
∴a_n+1=7a_n+9，
a_n+2=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{k}}$=$\frac{7{a}_{n}+9}{{2}^{k}}$=$\frac{7p+9}{{2}^{k}}$=p，
∴p（2^k-7）=9，
∵数列{a_n}的各项均为正整数，
∴k=3、p=9或k=4、p=1，
故答案为：9或1．

点评 本题考查数列递推式，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．