Question

19．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lnx（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的函数g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-f（x）+lnx+2e（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）把方程化为 $\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+a，求得 h（x）=$\frac{lnx}{x}$的最大值为 h（e）=$\frac{1}{e}$，再求得m（x）=x²-2ex+a 的最小值 m（e）=a-e²，根据 a-e²=$\frac{1}{e}$求出a的值．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
a=2时，f（x）=x+$\frac{2}{x}$+lnx，f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）关于x的方程g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-f（x）+lnx+2e，可化为 $\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+a，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，令h′（x）=0，得x=e，故 h（x）的最大值为 h（e）=$\frac{1}{e}$．  
令m（x）=x²-2ex+a，可得：x=e时，m（x）的最小值 m（e）=a-e² ，
由 a-e²=$\frac{1}{e}$可得 a=e²+$\frac{1}{e}$．

点评 本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数求函数的单调区间、最值问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．