Question

3．条件p：0＜x＜$\frac{π}{2}$，条件q：sinx＜x＜tanx，则p是q的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 法一、充分性：在单位圆中，|PB|=sinx，$\widehat{PA}$=x，|AQ|=tanx，由于△POA的面积小于扇形POA的面积，扇形POA的面积小于△AOQ的面积，可得|PB|＜$\widehat{PA}$＜|AQ|，化简可得sinx＜x＜tanx，举反例说明不必要；
法二、构造函数，通过导数说明当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，有sinx＜x＜tanx；举例说明当sinx＜x＜tanx时，不一定有0＜x＜$\frac{π}{2}$．

解答 解：法一、如图，当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，
设角x的终边与单位圆的交点为P，作PB⊥x轴，B为垂足，
单位圆和x轴的正半轴交于点A，作AQ⊥x轴，且点Q∈OP，
如图所示，则|PB|=sinx，$\widehat{PA}$=x，|AQ|=tanx，
由于△POA的面积小于扇形POA的面积，扇形POA的面积小于△AOQ的面积，
故有$\frac{1}{2}$|OA|•|PB|＜$\frac{1}{2}$$\widehat{PA}$•|OA|＜$\frac{1}{2}$|OA|•|AQ|，
即|PB|＜$\widehat{PA}$＜|AQ|，即 sinx＜x＜tanx．
反之，若sinx＜x＜tanx，不一定有0＜x＜$\frac{π}{2}$，
如当x小于$\frac{3π}{2}$且无限接近于$\frac{3π}{2}$时，sinx＜0，tanx→+∞，满足sinx＜x＜tanx，
但不满足0＜x＜$\frac{π}{2}$．
∴p是q的充分不必要条件．
法二、当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，令f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，
则f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$-1＞0，
故f（x）和g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，
∴x＞sinx，且tanx＞x，∴sinx＜x＜tanx；
反之，若sinx＜x＜tanx，不一定有0＜x＜$\frac{π}{2}$，
如当x小于$\frac{3π}{2}$且无限接近于$\frac{3π}{2}$时，sinx＜0，tanx→+∞，满足sinx＜x＜tanx，
但不满足0＜x＜$\frac{π}{2}$．
∴p是q的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断方法，考查学生对三角函数线的理解，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．