Question

设函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1（ω＞0）．直线y=

3

与函数y=f（x）图象相邻两交点的距离为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点（

B

2

，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=3，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化f（x）为Asin（ωx+φ）的形式，在由题意得到函数的周期，由周期公式求得ω的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的ω值代入函数解析式，由点（

B

2

，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心求得B，利用正弦定理求出△ABC的外接圆的直径，把△ABC的周长用含有角A的代数式表示，则△ABC周长的取值范围可求．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1
=sinωx•cos

π

6

-cosωx•sin

π

6

-2•

1+cosωx

2

+1
=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx=

3

(

1

2

sinωx-

3

2

cosωx)
=

3

sin(ωx-

π

3

)．
∵函数f（x）的最大值为

3

，以题意，函数f（x）的最小正周期为π，
由

2π

ω

=π，得ω=2；
（Ⅱ）∵f（x）=

3

sin(2x-

π

3

)，依题意

3

sin(B-

π

3

)=0，
sin（B-

π

3

）=0．
∵0＜B＜π，-

π

3

＜B-

π

3

＜

2

3

π，
∴B-

π

3

=0，B=

π

3

，
则2R=

b

sinB

=

3

sin π 3

=

3

3 2

=2

3

，
∴△ABC周长为a+b+c=3+2

3

(sinA+sinC)=3+6sin(A+

π

6

)(0＜A＜

2

3

π)∈（6，9]．

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型的函数的图象和性质，训练了正弦定理在解题中的应用，是中档题．