Question

已知函数f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取极值2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当m满足什么条件时，f（x）在区间（m，2m+1）为增函数；
（3）若P（x₀，y₀）是函数f（x）图象上一个动点，直线l与函数f（x）图象切于P点，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，根据函数f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取极值2，可得

f′(1)=0 f(1)=2

，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；
（2）令f'（x）＞0，解得-1＜x＜1，即f（x）在[-1，1]上是增函数，又f（x）在（m，2m+1）上为增函数，可得不等式组，即可求m的值；
（3）利用导数求斜率，再换元，配方，即可求直线l的斜率的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=

a(b-x2)

(x2+b)2

…1’
由已知

f′(1)=0 f(1)=2

，即

a(b-1) (1+b)2 =0 a 1+b =2

，∴

a=4 b=1

，
∴函数f（x）的解析式为f(x)=

4x

x2+1

…3’
（2）由（1）得f′(x)=

4(1-x2)

(x2+1)2

，令f'（x）＞0，解得-1＜x＜1…4’
故f（x）在[-1，1]上是增函数…5’
又f（x）在（m，2m+1）上为增函数，
∴

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

，解得-1＜m≤0…7’
即当-1＜m≤0时，函数f（x）在（m，2m+1）为增函数…8’
（3）∵直线l与f（x）图象切于P（x₀，y₀）点
∴l斜率k=f′(x0)=

4-4 x 2 0

( x 2 0 +1)2

=

-4

x 2 0 +1

+

8

( x 2 0 +1)2

…9’
令t=

1

x 2 0 +1

，则0＜t≤1，k=8t2-4t=8(t-

1

4

)2-

1

2

…10’
当t=

1

4

时，kmin=-

1

2

，当t=1时，k_max=4…11’
故直线l斜率的取值范围是[-

1

2

，4]…12’

点评：本题考查导数知识的运用，考查极值的意义，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，正确求导是关键．