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    【题目】选修4-5：不等式选讲

    已知函数

    （Ⅰ）求不等式的解集；

    （Ⅱ）已知函数的最小值为，若实数且，求的

    最小值．

    【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）9.

    【解析】试题分析: （Ⅰ）利用零点分段将函数去掉绝对值化简, 进而求出不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出函数的最小值,再根据基本不等式求出的

    最小值．

    试题解析:（Ⅰ）

    ，或，或

    解得或

    不等式的解集为

    （Ⅱ） 函数的最小值为

    当且仅当时等号成立

    故的最小值为9.

    点睛: 含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

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    【题目】已知函数．

    （1）证明：；

    （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

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    【题目】如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，底面是的菱形， 为棱上的动点，且.

    （Ⅰ）求证： ；

    （Ⅱ）试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.

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    【题目】某协会对，两家服务机构进行满意度调查，在，两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了人，每人分别对这两家服务机构进行独立评分，满分均为分.整理评分数据，将分数以为组距分成组：，，，，，，得到服务机构分数的频数分布表，服务机构分数的频率分布直方图：

    定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：

    分数

    满意度指数

    0

    1

    2

    （1）在抽样的人中，求对服务机构评价“满意度指数”为的人数；

    （2）从在，两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取人进行调查，试估计对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率；

    （3）如果从，服务机构中选择一家服务机构，以满意度出发，你会选择哪一家？说明理由.

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    【题目】无穷数列满足： 为正整数，且对任意正整数， 为前项， ， ， 中等于的项的个数.

    （Ⅰ）若，请写出数列的前7项；

    （Ⅱ）求证：对于任意正整数，必存在，使得；

    （Ⅲ）求证:“”是“存在，当时，恒有 成立”的充要条件。

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    【题目】已知数列的各项均为正数，前项和为，且.

    （1）求证：数列是等差数列；

    （2）设，求.

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    【题目】已知函数，曲线在点处的切线方程为.

    （1）求的值；

    （2）如果当，且时， ，求的取值范围.

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    【题目】年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从年下半年的会员中随机调查了个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下：

    根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级：

    满意度评分

    低于分

    分到分

    不低于分

    满意度等级

    不满意

    比较满意

    非常满意

    （1）根据这个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；

    （2）以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立.

    （i）若从下半年的所有会员中随机选取个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率；

    （ii）若从下半年的所有会员中随机选取个会员，记评分非常满意的会员的个数为，求的分布列，数学期望及方差.

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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）

    （1）求曲线的直角坐标方程及曲线的极坐标方程；

    （2）当（）时在曲线上对应的点为，若的面积为，求点的极坐标，并判断是否在曲线上（其中点为半圆的圆心）

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