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【题目】无穷数列满足: 为正整数,且对任意正整数 为前 中等于的项的个数.

)若,请写出数列的前7项;

)求证:对于任意正整数必存在,使得

)求证:“”是“存在,当时,恒有 成立”的充要条件。

【答案】(Ⅰ)2112231(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)证明见解析.

【解析】试题分析:(Ⅰ)根据题设条件,直接写出即可;

(Ⅱ)假设存在正整数,使得对任意的 ,利用反证法证明即可;

可分充分性和必要性证明即可,当得数列满足 ,当为偶数,则;当为奇数,则即可证得充分性;再作出必要性的证明即可.

试题解析:

(Ⅰ)2,1,1,2,2,3,1

假设存在正整数,使得对任意的 . 由题意,

考虑数列的前项:

其中至少有项的取值相同,不妨设

此时有: ,矛盾.

故对于任意的正整数必存在,使得.

(Ⅲ)充分性:

时,数列

特别地 故对任意的

1)若为偶数,则

2)若为奇数,则

综上 恒成立,特别地,取有当时,恒有成立

方法一:假设存在),使得存在,当时,恒有成立

则数列的前项为

后面的项顺次为

……

对任意的总存在使得 这与矛盾,故若存在,当时,恒有成立,必有

方法二:若存在,当时, 恒成立,记.

由第2问的结论可知:存在,使得(由s的定义知

不妨设是数列第一个大于等于的项,即均小于等于s.

.因为,所以,即为正整数,所以.

,由数列的定义可知,在中恰有t项等于1.

假设则可设,其中

考虑这t1的前一项,即

因为它们均为不超过s的正整数,且,所以中一定存在两项相等,

将其记为a,则数列中相邻两项恰好为(a1)的情况至少出现2次,但根据数列的定义可知:第二个a的后一项应该至少为2,不能为1,所以矛盾!

故假设不成立,所以,即必要性得证!

综上存在,当时,恒有成立的充要条件.

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