【题目】无穷数列满足:
为正整数,且对任意正整数
,
为前
项
,
,
,
中等于
的项的个数.
(Ⅰ)若,请写出数列
的前7项;
(Ⅱ)求证:对于任意正整数,必存在
,使得
;
(Ⅲ)求证:“”是“存在
,当
时,恒有
成立”的充要条件。
【答案】(Ⅰ)2,1,1,2,2,3,1;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据题设条件,直接写出即可;
(Ⅱ)假设存在正整数,使得对任意的
,
,利用反证法证明即可;
(Ⅲ)可分充分性和必要性证明即可,当时,得数列
满足
,
,当
为偶数,则
;当
为奇数,则
,即可证得充分性;再作出必要性的证明即可.
试题解析:
(Ⅰ)2,1,1,2,2,3,1
(Ⅱ)假设存在正整数,使得对任意的
,
. 由题意,
考虑数列的前
项:
,
,
,…,
其中至少有项的取值相同,不妨设
此时有: ,矛盾.
故对于任意的正整数,必存在
,使得
.
(Ⅲ)充分性:
当时,数列
为
,
,
,
,
,
,
,…,
,
,
,
,…
特别地, ,
,故对任意的
(1)若为偶数,则
(2)若为奇数,则
综上, 恒成立,特别地,取
有当
时,恒有
成立
方法一:假设存在(
),使得“存在
,当
时,恒有
成立”
则数列的前
项为
,
,
,
,
,
,
,
,…,
,
,
,
,
,
,
,
,…,
,
,
,
,
,
,…,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
后面的项顺次为
,
,
,
,…,
,
,
,
,
,…,
,
,
,
,
,…,
,
……
对任意的,总存在
,使得
,
,这与
矛盾,故若存在
,当
时,恒有
成立,必有
方法二:若存在,当
时,
恒成立,记
.
由第(2)问的结论可知:存在,使得
(由s的定义知
)
不妨设是数列
中第一个大于等于
的项,即
均小于等于s.
则.因为
,所以
,即
且
为正整数,所以
.
记,由数列
的定义可知,在
中恰有t项等于1.
假设,则可设
,其中
,
考虑这t个1的前一项,即,
因为它们均为不超过s的正整数,且,所以
中一定存在两项相等,
将其记为a,则数列中相邻两项恰好为(a,1)的情况至少出现2次,但根据数列
的定义可知:第二个a的后一项应该至少为2,不能为1,所以矛盾!
故假设不成立,所以
,即必要性得证!
综上,“”是“存在
,当
时,恒有
成立”的充要条件.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,点
,圆
,以动点
为圆心的圆经过点
,且圆
与圆
内切.
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)若直线过点
,且与曲线
交于
两点,则在
轴上是否存在一点
,使得
轴平分
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,且
,
.四边形
满足
,
,
.
为侧棱
的中点,
为侧棱
上的任意一点.
(1)若为
的中点,求证: 面
平面
;
(2)是否存在点,使得直线
与平面
垂直? 若存在,写出证明过程并求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知曲线的极坐标方程是
,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
的参数方程是
(
为参数).
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于
两点,且
,求直线
的倾斜角
的值.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an﹣p,其中p是不为零的常数.
(1)证明:数列{an}是等比数列;
(2)当p=3时,若数列{bn}满足bn+1=bn+an(n∈N*),b1=2,求数列{bn}的通项公式.
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