Question

在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x²+2x+b（x∈R）的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。
 （1）求实数b的取值范围；
 （2）求圆C的方程；
 （3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。

Answer 1

解：（1）显然b≠0
否则，二次函数f（x）=x²+2x+b的图象与两个坐标轴只有两个交点（0，0），（-2，0），这与题设不符
由b≠0知，二次函数f（x）=x²+2x+b的图象与y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x²+2x+b=0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4-4b>0，即b<1
所以b的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）。
（2）由方程x²+2x+b=0，得
于是，二次函数f（x）=x²+2x+b的图象与坐标轴的交点是
设圆C的方程为
因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得
解上述方程组，因b≠0，得
所以，圆C的方程为。
（3）圆C过定点，证明如下：
假设圆C过定点（x₀，y₀）（x₀，y₀不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为

为使（*）式对所有满足b<1（b≠0）的b都成立，必须有1-y₀=0，结合（*）式得

解得
经检验知，点（0，1），（-2，1）均在圆C上，因此，圆C过定点。