Question

已知数列{a_n}，a_n=

αn-βn

α-β

(n=1，2，…)，其中α，β是方程x²-x-1=0的两个根．
（1）证明：对任意正整数n，都有a_n+2=a_n+1+a_n；
（2）若数列{a_n}中的项都是正整数，试证明：任意相邻两项的最大公约数均为1；
（3）若β＜α，b_n=

|α|-|β|

n(|α|n-|β|n)

，n=1，2，…，证明：

n

k=1

bk＜2．

Answer 1

分析：（1）利用α，β是方程x²-x-1=0的两个根，作差a_n+2-（a_n+1+a_n），可得结论；
（2）由（1）与更相减损术可得：对任意正整数n，（a_n+2，a_n+1）=（a_n+1+a_n，a_n+1）=（a_n，a_n+1），由此可得结论；（3）由α，β是方程x²-x-1=0的两个根且β＜α，结合aⁿ-bⁿ=（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…b^n-1），利用放缩法，即可证得结论．

解答：（1）证明：∵α，β是方程x²-x-1=0的两个根，
∴α²-α-1=0，β²-β-1=0
∴对任意正整数n，a_n+2-（a_n+1+a_n）=

αn(α2-α-1)-βn(β2-β-1)

α-β

=0
∴a_n+2=a_n+1+a_n；
（2）解：由（1）与更相减损术可得：对任意正整数n，（a_n+2，a_n+1）=（a_n+1+a_n，a_n+1）=（a_n，a_n+1），
∴（a_n，a_n+1）=（a₂，a₁）=（a₂，1）=1，
∴任意相邻两项的最大公约数均为1；
故命题成立；
（3）解：∵α，β是方程x²-x-1=0的两个根且β＜α，
∴由aⁿ-bⁿ=（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…b^n-1）可得：b_n=

|α|-|β|

n(|α|n-|β|n)

=

2

n(2 n-1 k=0 |α|n-1-k|β|k)

＜

2

2n n-1 k=0 |α|n-1-k|β|k|β|n-1-k|α|k

=

2

2n n-1 k=0 |α|n-1|β|n-1

∴

n

k=1

bk＜

n

k=1

1

k2

=1+

n

k=2

1

k2

＜1+

n

k=2

1

k(k-1)

=1+1+

n

k=2

(

1

k-1

-

1

k

)=1+1-

1

n

＜2．

点评：本题考查数列知识，考查数列与不等式的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．