Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=

1

4

，a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

1-an2

（1）求证数列{

1

bn-1

}是等差数列并求数列{b_n}的通项公式；
（2）设Sn=a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得b_n+1=

bn

1-an2

=

1-an

(1-an)(1+a1)

=

1

1+an

，从而

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=（-

an+1

an

）-（-

1

an

）=-1，由此能证明数列{

1

bn-1

}是等差数列，从而能求出b_n=

n+2

n+3

．
（2）由已知得an=

1

n+3

，从而a_na_n+1=

1

(n+3)(n+4)

=

1

n+3

-

1

n+4

，由此利用裂项求和法能求出S_n．

解答： （1）证明：∵a₁=

1

4

，a_n+b_n=1，
∴b_n=1-a_n，∴b_n+1=

bn

1-an2

=

1-an

(1-an)(1+a1)

=

1

1+an

，
∴

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=（-

an+1

an

）-（-

1

an

）=-1，
数列{

1

bn-1

}是等差数列，
∵a1+b1=

1

4

+b1=1，∴b1=

3

4

，∴

1

b1-1

=-4，
∴

1

bn-1

=-4+（n-1）×（-1）=-n-3，
解得b_n=

n+2

n+3

．
（2）解：∵a_n+b_n=1，b_n=

n+2

n+3

，∴an=

1

n+3

，
∴a_na_n+1=

1

(n+3)(n+4)

=

1

n+3

-

1

n+4

，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n+1
=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4n+16

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．