Question

已知向量

m

=（

3

sin2x，cos2x），

n

=（cos2x，-cos2x）．若x∈（

7π

24

，

5π

12

），

m

•

n

=-

11

10

，求cos4x的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：首先根据向量的数量积的坐标表示，结合二倍角的正弦和余弦公式，两角差的正弦公式，化简整理，再由同角的平方关系，以及角的变换4x=（4x-

π

6

）+

π

6

，结合题中的定义域，求出cos4x的值．

解答： 解：由

m

=（

3

sin2x，cos2x），

n

=（cos2x，-cos2x）．
∴

m

•

n

=

3

sin2xcos2x-cos²2x=

3

2

sin4x-

1+cos4x

2

=sin（4x-

π

6

）-

1

2

，
∵

m

•

n

=-

11

10

，
∴sin（4x-

π

6

）=-

3

5

，
∵x∈（

7π

24

，

5π

12

），
∴4x-

π

6

∈（π，

3π

2

），
∴cos（4x-

π

6

）=-

4

5

，
∴cos4x=cos[（4x-

π

6

）+

π

6

]
=cos（4x-

π

6

）cos

π

6

-sin（4x-

π

6

）sin

π

6

）
=-

4

5

×

3

2

-（-

3

5

×

1

2

）=

3-4 3

10

．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查三角函数的化简和求值，运用二倍角公式和角的变换是解题的关键．