Question

设f（x）=

2x

x2+6

（1）若关于x的不等式f（x）＞k的解集是{x|x＞-2或x＜-3}，求k的值；
（2）当x＞0时，不等式f（x）＜k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）不等式f（x）＞k?kx²-2x+6k＜0，由二次不等式性质可知，-2，-3是方程kx²-2x+6k=0的两根，代入求解即可；
（2）利用基本不等式得，f（x）=

2x

x2+6

=

2

x+ 6 x

≤

2

2 6

=

6

6

，当且仅当x=

6

x

，即x=

6

时，等号成立．从而可确定k的值．

解答： 解：（1）∵x²+6＞0，
∴不等式f（x）＞k?kx²-2x+6k＜0，
由二次不等式性质可知，
-2，-3是方程kx²-2x+6k=0的两根，
即-2+（-3）=

2

k

，
∴k=-

2

5

，
（2）∵x＞0，
f（x）=

2x

x2+6

=

2

x+ 6 x

≤

2

2 6

=

6

6

，当且仅当x=

6

x

，即x=

6

时，等号成立．
∴不等式f（x）＜k恒成立?k＞

6

6

．
∴k的取值范围是(

6

6

，+∞)．

点评：本题考查一元二次不等式得性质，和基本不等式在恒成立问题中的应用，属于中档题．