Question

已知函数f（x）=m+

2

2x+1

是奇函数．
（1）求m的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）判断f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）可以利用函数f（x）的奇偶性定义，得到参数m的值；
（2）将原函数进行变形，再利用指数函数的值域，求出原函数的值域；
（3）利用导数小于0，即可确定函数的单调性

解答： 解：（1）f（-x）=-f（x）⇒m+

2

2-x+1

=-m-

2

2x+1

故2m=-

2

2-x+1

-

2

2x+1

=-2，∴m=-1；
（2）f（x）=

2

2x+1

-1，
因为2^x+1＞1，
所以0＜

2

2x+1

＜2，∴-1＜

2

2x+1

＜1，
所以f（x）的值域是（-1，1）；
（3）f （x）是R上的减函数，证明如下：
∵m=-1，∴f（x）=

2

2x+1

-1，
∴f′（x）=-

(2ln2)•2x

(2x+1)2

＜0
∴f （x）是R上的减函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性及其应用，本题有一定的思维难度，属于中档题．