Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+π）=-f（x），且当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠

π

2

时，有（x-

π

2

）f（x）＞0，则函数y=f（x）+2sinx在x∈[-2π，2π]时的零点个数是（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考点：函数的周期性,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由已知易得函数的周期性和单调性，作出f（x）和y=-2sinx在[-2π，2π]的图象可得结论．

解答： 解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+π）=-f（x），
∴函数f（x）的周期T=π，
又当x∈（0，π）且x≠

π

2

时，有（x-

π

2

）f（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，

π

2

）单调递减，在（

π

2

，π）单调递增，
作出f（x）和y=-2sinx在[-2π，2π]的图象，
由图象可得函数的交点为4个，即函数y=f（x）+2sinx有4个零点，
故选：B．

点评：本题考查函数的零点，涉及函数的周期性和对称性，数形结合是解决问题的关键，属中档题．