Question

已知函数f（x）=-x²-ax+b+1（a≥2，b∈R）的定义域为[-1，1]，值域为[-4，0]．
（1）求f（x）的解析式．
（2）是否存在正实数t，使得f（x）≤tx恒成立？若存在，求出正实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由a≥2可知，二次函数f（x）=-x²-ax+b+1的对称轴-

a

2

≤-1，由二次函数性质知，f（x）=-x²-ax+b+1在[-1，1]上单调递减，从而f（-1）=0，f（1）=-4，解方程即可；
（2）构造函数g（x）=tx-f（x）=x²+（t+2）x+1，利用二次函数性质将f（x）≤tx恒成立转化为

t≥0 g(-1)=-t≥0

或

t≤-4 g(1)=t+4≥0

或

-4＜t＜0 △≤0

，解方程即可．

解答： 解：（1）∵a≥2，
∴-

a

2

≤-1，
由二次函数性质知，
f（x）=-x²-ax+b+1在[-1，1]上单调递减，
∴

f(-1)=0 f(1)=-4

，即

a+b=0 -a+b=-4

，
解得，a=2，b=-2，
∴f（x）=-x²-2x-1，
（2）令g（x）=tx-f（x）=x²+（t+2）x+1，则
由二次函数的图象及性质可知，g（x）≥0等价于

t≥0 g(-1)=-t≥0

或

t≤-4 g(1)=t+4≥0

或

-4＜t＜0 △≤0

，
解得-4≤t≤0，
∴t∈[-4，0]时f（x）≤tx恒成立．

点评：本题考查二次函数的图象与性质的综合应用，属于中档题．