Question

已知向量

m

=（2sinθ，sinθ+cosθ），

n

=（cosθ，-2-m），函数f（θ）=

m

•

n

（1）当m=1时，求f（

π

4

）的值；
（2）若θ∈[-

π

4

，

π

4

]，问是否存在实数m的值使得f（θ）的最小值为-

3

4

，若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由向量的数量积的坐标表示，代入m=1，由特殊角的三角函数值化简即可得到；
（2）假设存在实数m的值使得f（θ）的最小值为-

3

4

，令t=sinθ+cosθ，由θ∈[-

π

4

，

π

4

]，求得t的范围，两边平方可得2sinθcosθ=t²-1，转化为二次函数的最值求法，通过对称轴和区间的关系，即可求得最小值，进而判断是否存在．

解答： 解：（1）向量

m

=（2sinθ，sinθ+cosθ），

n

=（cosθ，-2-m），
则函数f（θ）=

m

•

n

=2sinθcosθ-（2+m）（sinθ+cosθ），
当m=1时，f（θ）=2sinθcosθ-3（sinθ+cosθ）；
则f（

π

4

）=2sin

π

4

cos

π

4

-3（sin

π

4

+cos

π

4

）=1-3

2

；
（2）假设存在实数m的值使得f（θ）的最小值为-

3

4

，
f（θ）=2sinθcosθ-（2+m）（sinθ+cosθ），
令t=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

），
由θ∈[-

π

4

，

π

4

]，则θ+

π

4

∈[0，

π

2

]，即有t∈[0，2]，
由t²=1+2sinθcosθ，得2sinθcosθ=t²-1，
则f（θ）=t²-1-（2+m）t=（t-

2+m

2

）²-1-

(m+2)2

4

，
由于最小值点可能在端点处和顶点处，
且-1-

(m+2)2

4

＜-1，则最小值不可能在顶点处，
若区间[0，2]为增区间即

m+2

2

≤0，则t=0取得最小值-1，不成立；
若区间[0，2]为减区间即

m+2

2

≥2，则t=2取得最小值3-2（2+m）=-

3

4

，
解得m=-

1

8

，不成立．
综上可得，不存在实数m的值使得f（θ）的最小值为-

3

4

．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查三角函数的恒等变换和求值，考查运算能力，注意二次函数的最值求法是解题关键．