Question

已知函数f（x）=x²lnx-ax³-x²+x，若?λ∈R使λf（x）-xf（λ）≤0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（0，

  1

  e2

  ）
• B、（0，

  1

  e2

  ]
• C、（0，

  1

  2e

  ）
• D、（0，

  1

  2e

  ]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：求函数的定义域，将不等式进行等价转化，构造函数g（x）=

f(x)

x

，求函数的导数，求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：函数的定义域为（0，+∞），
若?λ∈R使λf（x）-xf（λ）≤0恒成立，
则λ＞0，
则不等式等价为?λ∈R使

f(x)

x

≤

f(λ)

λ

恒成立，
设g（x）=

f(x)

x

=xlnx-ax²-x+1，
则函数的导数g′（x）=lnx-2ax，
由g′（x）=lnx-2ax=0得a=

lnx

2x

，
∵当a＜0时，函数g（x）无极大值，∴只有当a＞0是成立，
设y=

lnx

2x

，则y′=

1-lnx

2

，则当x=e时，函数y=

lnx

2x

取得最大值为y=

lne

2e

=

1

2e

，
则等价为a∈（0，

1

2e

]，
故选：D

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式进行转化，构造函数利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．综合性较强．