Question

已知任意一个正整数的三次幂可表示成一些连续奇数的和，如图所示，3³可表示1³=1  2³=3+5  3³=7+9+11  4³=13+15+17+19…为7+9+11，则我们把7、9、11叫做3³的“数因子”，若n³的一个“数因子”为2015，则n=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：新定义,推理和证明

分析：由题意和等差数列的前n项和公式，求出前n个正整数的三次幂的“数因子”的个数是

n(n+1)

2

，再判断出2015是第1008个奇数，再由条件和特值法判断出2015应是45³的一个“数因子”．

解答： 解：由题意知，n³可表示为n个连续奇数的和，且所有正整数的“数因子”都是按照从小到大的顺序排列的，
所以前n个正整数的三次幂的“数因子”共有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

个，
因为2015=2×1008-1，故2015是第1008个奇数，
而

44×45

2

=990＜1008，

45×46

2

=1035＞1008，
所以44³的最大“数因子”是第990个奇数，45³的最大“数因子”是第1035个奇数，
故第1008个奇数：2015应是45³的一个“数因子”，
故答案为：45．

点评：本题考查了新定义的应用，归纳推理，等差数列的前n项和公式，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．