Question

已知在数列{a_n}中，a_n=（n+1）（

10

11

）ⁿ （n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}先递增，后递减；
（2）求数列{a_n}的最大项．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由

an+1

an

=

10

11

(1+

1

n+1

)，令a_n+1=a_n，解得n=9．对n分类讨论，即可得出单调性；
（2）利用（1）的单调性即可得出最大项．

解答： （1）证明：

an+1

an

=

(n+2)( 10 11 )n+1

(n+1)( 10 11 )n

=

10

11

(1+

1

n+1

)，令a_n+1=a_n，解得n=9．
当1≤n＜9时，∵1+

1

n+1

＞1+

1

10

=

11

10

，∴a_n+1＞a_n；
当9＜n时，1+

1

n+1

单调递减，∴1+

1

n+1

＜

11

10

，∴a_n＞a_n+1．．
∴数列{a_n}先递增，后递减．
（2）解：由（1）可知：a₉=a₁₀并且最大．

点评：本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．