Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=1，且

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

，则（a₄+b₄）（a₅-b₅）=（　　）

• A、

  7

  8

• B、

  5

  8

• C、

  9

  16

• D、

  7

  16

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：两式相加，得{a_n+b_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，两式相减，得{a_n-b_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，由此能求出（a₄+b₄）（a₅-b₅）的值．

解答： 解：∵

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

，
两式相加，得a_n+b_n=a_n-1+b_n-1+2，
两式相减，得a_n-b_n=

1

2

（a_n-1-b_n-1）
∵a₁=2，b₁=1，
∴{a_n+b_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，
{a_n-b_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴a₄+b₄=3+3×2=9，a₅-b₅=1×(

1

2

)4=

1

16

，
∴（a₄+b₄）（a₅-b₅）=9×

1

16

=

9

16

．
故选：C．

点评：本题考查两个数列中两项和与两项差的乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．