Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（x）=f（

x+y

1+xy

）；当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0．
（1）判定f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由；
（2）判定f（x）在（-1，1）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，x=y=0求出f（0）的值，结合y=-x，利用已知条件，推出函数是奇函数即可．
（2）先设0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），根据题目条件进行化简变形判定其符号，根据函数单调性的定义即可判定．

解答： 解：（1）由x=y=0得f（0）+f（0）=f（

0+0

1+0

）=f（0），
∴f（0）=0，
任取x∈（-1，1），则-x∈（-1，1），f（x）+f（-x）=f（

x-x

1-x2

）=f（0）=0．
∴f（x）+f（-x）=0，
即f（x）=-f（-x），
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）．
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1所以-1＜

x1-x2

1-x1x2

＜0
∵当x∈（-1，0）时，f（x）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）＞0
即当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上单调递减，
∵f（x）在（-1，1）上为奇函数，
∴f（x）在（-1，1）上单调递减．

点评：本题主要考查了函数的单调性的判定与证明，以及函数奇偶性的判定，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质，属于中档题．